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Grundschulpädagogik/Mathemathik/Arithmetik

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Einführende Bemerkungen

Bedeutung der Mathematik in der menschlichen Gesellschaft

  • älteste Wissenschaft neben der Philosophie
  • Umweltproblem mussten bewältigt werden
  • die Anfänge der Mathematik waren der Zahlbegriff und einfache geometrische Begriffe
    • arithmos/ griech. Zahl
    • geos (griech)

Arthmetik im Ensemble einiger methematischer Disziplinen

  • Arithmetik: Zahlen und Rechenlehre, beschäftigt sich mit »einfachen« (natürlichen) Zahlen und den Gesetzen ihrer Verknüpfung
  • Zahlentheorie: Untersuchung der Eigenschaften der ganzen Zahlen
  • Algebra: Lehre von der Auflösbarkeit von Gleichungen
  • Kombinatorik: Beschäftigt sich mit Problemen der Anordnung oder der Auswahl von Elementen endlicher Mengen
  • Stochastik: Gesamtheit der Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Der Zahlbegriff

Was ist eine Zahl?

  • die Wissenschaftssprache der Mathematik unterscheidet zwischen Objekten der Realität, mathematischem Abbild und mathematischen Zeichen
  • eine Zahl existiert nicht in der objektiven Realität
  • Sie ist ein Abstraktum für eine Zahl
  • Sie wird durch eine Ziffer oder ein Zahlwort dargestellt

Aspekte des Zahlbegriffs

Eine Zahl ist ein Abstraktum. Sie existiert nur in unserem Bewusstsein. Wir können sie Kindern nur veranschaulichen.

  • Kardinalzahlaspekt
    • Zahlen dienen der Beschreibung von Anzahlen
    • „Wie viele?“
  • Ordinalzalaspekt
    • Ordnungszahlen: Zahlen als Ordnungstypen wohl geordneter Mengen
    • Zählzahlen: Zahlen bezeichnen Reihenfolge; die natürlichen Zahlen werden - so wie im Zählprozess durchlaufen - direkt
    • Maßzahlen: Zahlen zur Bezeichnung von Größen
    • Operatorenaspekt: Zahlen beschreiben das „tun“ mit einem Objekt
    • Rechenzahlaspekt
      • Algebraischer Aspekt: Zahlen drücken algebraische Gesetzmäßigkeiten aus
      • Algorithmischer Aspekt: Mit Zahlen kann man nach Handlungsanweisungen ziffernweise rechnen
    • Codierungsaspekt: (Telefonnummer, laufende Nummern)

Aufbau der Menge der natürlichen Zahlen

Genetisch-mengenteoretischer Aufbau

  • man geht aus von Repräsentatnten, die als Elemente eines Grundbereiches zur Verfügung stehen
  • man vereinbart, dass man aus dieser Menge Elemente entnimmt und der so entstandenen Menge M ein mathematisches Zeichen (Ziffer) zugeordnet
  • zu dieser endlichen Menge wird ein weiteres Element aus dem Grundbereich hinzugefügt
  • damit entsteht eine weitere endliche Menge, die der Nachfolger der vorhergehenden genannt wird

Axiomatischer Aufbau

  • der axiomatische Aufbau ist die höchste Form der deduktiven Methode
  • Grundbegriffe werden als gegeben angenommen
  • wahre Aussagen mit diesen Grundbegriffen formuliert
  • Regeln, mit denen aus diesen Aussagen alle anderen Aussagen, dieses Sachgebietes gewonnen werden

Konstruktion der Zahlbereiche

historischer Weg

wissenschaftlich Logischer Weg

Eine negative (ganze) Zahl ist eine Klasse von differenzengleichen, geordneten Paare ntürlicher Zahlen Eine gebrochene Zahl ist eine eine Klasse von quotientengleichen, geordneten Paaren natürlicher Zahlen

Darstellung von Zahlen auf der Zahlengeraden

  1. Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl mit Punkten als natürliche Zahlen, die durch Streckenabtragung entstehen
    • sie entstehen vom Nullpunkt aus
  2. gebrochene Zahlen
    • Zahlenstrahl mit Punkten die zwischen den natürlichen Zahlen liegen zeigen die gebrochenen Zahlen an
  3. ganze Zahlen
    • Zahlengerade mit Punkten geben die ganzen Zahlen wieder
  4. rationale Zahlen
    • die rationalen Zahlen werden auf einer Zahlengerade dargestellt, die Punkte zwischen den ganzen Zahlen hat
  5. irrationale Zahlen

Zusammenhang zwischen Arithmetik und Geometrie

Vorgehen in der Grundschule

  • arithmetische Zusammenhänge können in der Geometrie dargestellt werden
  • die Veranschaulichung hilft Zusammenhänge zu erfassen
  • Darstellen der natürlichen Zahlen, Operationen und verschiedene Relationen durch geometrische Figuren

Übergang zur Mittelschule

  • Wie können die Kinder in der Mittelstufe von selbst Regeln für Termumformungen finden bzw. begreifen?
    • die Mal-Aufgabe kann als Fläche dargestellt werden
    • der Flächeninhalt einer Rechteckfläche kann durch eine Malaufgabe dargestellt werden
    • Distributivgesetz (a+b)*c=ac+bc kann auch als geometrische Fläche dargestellt werden um auf das Gesetz zu führen

Zahldarstellungssysteme

Additionssysteme

  • jedes Zeichen hat einen Ziffernwert, die Summe der Ziffern ergibt die Zahl
  • Mengen werden zusammengefügt um Zahlen darzustellen
  • Römisches Zahlzeichensystem (Ziffernzeichen)

Positionssystem

  • In einem Positionssystem hat jedes Zeichen einen Ziffernwert und einen Stellenwert.
  • Das Produkt des Ziffernwertes mit dem Stellenwert und die anschließende Addition ergibt die Zahl

Probleme beim Bündeln in der Grundschule

  • das Kind versteht die Struktur und die Anwendungsmöglichkeiten eines Stellenwertsystems besser wenn es dieses in einer größeren Allgemeinheit erfährt

der Abakus als Verdinglichung des Positionssystems

  • Relevanz für die Grundschule

Teilbarkeitsregeln

Operationen in N

Operation: Unter einer zweistelligen Operation O in einer Menge M versteht man eine eindeutige Abbildung aus M x M in M.

Addition

Was ist eine Summe: a und b seien natürliche Zahlen. Sie werden repräsentiert durch die elementfremden Mengen A und B. Eine natürliche Zahl c eist Summe von a und b gdw. A ∪ B ein Repräsentant von c ist. Rechengesetze

  1. Addition ist stets ausführbar
  2. Besonderheiten an Rechenmaschinen entdecken
    • wenn zwei Summanden gegeben sind gibt es stets genau ein Ergebnis
    • wenn ein Summand und das Ergebnis gegeben ist, gibt es genau einen zweiten Summanden
    • ist nur das Ergebnis gegeben kann es mehrere Möglichkeiten geben

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